Ôn tập lại triết lý và phía dẫn phương pháp giải những dạng toán về hệ thức lượng vào tam giác nghỉ ngơi lớp 10 qua các ví dụ có lời giải chi tiết.

Anda sedang menonton: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Chúng ta đề nghị nhớ những công thức với định lý trước lúc áp dụng vào giải bài bác tập.


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $AC = b$ cùng $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$

*
*
*
*
*
*
*
*

Áp dụng bí quyết đường trung con đường với tam giác $ABC$ với $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ từ bỏ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ còn mặt khác $EF$ là con đường trung tuyến đường tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài bác 1: minh chứng rằng trong các tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). C) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). D) Áp dụng cách làm đường trung tuyến. E) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ kia suy ra điều buộc phải chứng minh.

Bài 2: cho tam giác $ABC.$ chứng minh rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$

a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.

Bài 3: đến tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^4 = b^4 + c^4.$ minh chứng rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. B) $2sin ^2A = an B an C.$

a) dễ thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là béo nhất. Cùng $a^4 = b^4 + c^4 còn mặt khác theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ cho nên vì vậy $widehat A b) $2sin ^2A = an B an C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$

Bài 4: call $S$ là diện tích s tam giác $ABC.$ chứng minh rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$

a) Ta bao gồm $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$

Bài 5: cho tứ giác lồi $ABCD$, điện thoại tư vấn $alpha $ là góc hợp vì chưng hai đường chéo cánh $AC$ cùng $BD.$ minh chứng diện tích $S$ của tứ giác cho bởi công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$

Gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo. Khi đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta có những góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ cùng $widehat DIA$ đôi một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ cho nên vì thế $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$

DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng định lí côsin, định lí sin, phương pháp đường trung tuyến, phương pháp tính diện tích tam giác để chuyển đổi giả thiết về hệ thức tương tác cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: mang lại tam giác $ABC$ tán đồng $sin C = 2sin Bcos A.$ chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân.

Áp dụng định lí côsin và sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại đỉnh $C.$

Ví dụ 2: mang đến tam giác $ABC$ tán đồng $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ chứng tỏ rằng tam giác $ABC$ vuông.

Lihat lainnya: Thay Pin Iphone 8 Plus Chính Hãng Pisen (Dung Lượng Chuẩn 2691Mah) Giá Rẻ

Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông trên $A.$

Ví dụ 3: nhấn dạng tam giác $ABC$ trong số trường vừa lòng sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$

a) Áp dụng công thức diện tích ta bao gồm $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. B) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân trên $C.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài 1: đến tam giác $ABC.$ chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu $h_a = csin A.$

Sử dụng công thức $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$

Bài 2: mang lại tam giác $ABC.$ chứng minh tam giác $ABC$ cân nặng nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$

Sử dụng phương pháp đường trung đường và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$

Bài 3: chứng minh rằng tam giác $ABC$ gần như khi và chỉ còn khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$

Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a = b = c$ xuất xắc tam giác $ABC$ đều.

Bài 4: đến tam giác $ABC.$ tra cứu góc $A$ vào tam giác biết các cạnh $a$, $b$, $c$ chấp nhận hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$

$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$